Конечно оплатят. Обязаны просто. Независимо от места заболевания. Единственно что - это возможна задержка в связи с проверкой подлинности больничного листа. Так что не беспокойтесь.

В соответствии с Положением о порядке выдачи медицинскими организациями листков нетрудоспособности (утв. Приказом Минздравсоцразвития России от 01.08.2007 № 514) гражданам, находящимся вне места регистрации по месту жительства (по месту пребывания, временного проживания), листок нетрудоспособности выдается (продлевается) с разрешения главного врача медицинской организации либо его заместителя с соответствующей записью в медицинской карте амбулаторного (стационарного) больного и листке нетрудоспособности. При продолжении временной нетрудоспособности листок нетрудоспособности выдается с учетом дней, необходимых для проезда к месту регистрации по месту жительства (по месту пребывания, временного проживания) (п. 7). 41. Листок нетрудоспособности не выдается по уходу в период ежегодного оплачиваемого отпуска и отпуска без сохранения заработной платы (п. 41). Пункт 1 ст. 9 Федерального закона от 29 декабря 2006 г. № 255-ФЗ "Об обязательном социальном страховании на случай временной нетрудоспособности и в связи с материнством" также предусматривает, что пособие по временной нетрудоспособности не назначается застрахованному лицу за период освобождения работника от работы с полным или частичным сохранением заработной платы или без оплаты в соответствии с законодательством РФ, за исключением случаев утраты трудоспособности работником вследствие заболевания или травмы в период ежегодного оплачиваемого отпуска.